Plocha lichoběžníku: vzorce a metody výpočtu

Obsah:

Plocha lichoběžníku: vzorce a metody výpočtu
Plocha lichoběžníku: vzorce a metody výpočtu
Anonim

Abyste se cítili sebejistě a úspěšně řešili problémy v hodinách geometrie, nestačí se učit vzorce. Nejprve je třeba jim porozumět. Bát se, a ještě více nenávidět vzorce, je neproduktivní. V tomto článku budou v dostupném jazyce analyzovány různé způsoby, jak najít oblast lichoběžníku. Pro lepší asimilaci odpovídajících pravidel a teorémů budeme věnovat určitou pozornost jeho vlastnostem. To vám pomůže pochopit, jak pravidla fungují a v jakých případech by měly být použity určité vzorce.

Definujte lichoběžník

lichoběžníková oblast
lichoběžníková oblast

Jaký je tento údaj obecně? Lichoběžník je mnohoúhelník se čtyřmi úhly a dvěma rovnoběžnými stranami. Další dvě strany lichoběžníku lze naklánět pod různými úhly. Jeho rovnoběžné strany se nazývají základny a pro nerovnoběžné strany se používá název „strany“nebo „boky“. Takové postavy jsou v každodenním životě docela běžné. Obrysy lichoběžníku lze vidět v siluetách oblečení, interiérových předmětů, nábytku, nádobí a mnoha dalších. Lichoběžník může být různých typů: všestranný, rovnoramenný a obdélníkový. Jejich typy a vlastnosti podrobněji rozebereme později v článku.

Vlastnosti lichoběžníku

jaká je plocha lichoběžníku
jaká je plocha lichoběžníku

Zastavme se krátce u vlastností tohoto obrázku. Součet úhlů sousedících s kteroukoli stranou je vždy 180°. Je třeba poznamenat, že součet všech úhlů lichoběžníku je 360°. Lichoběžník má koncept střední čáry. Pokud spojíte středy stran segmentem, bude to střední čára. Označuje se m. Středová čára má důležité vlastnosti: je vždy rovnoběžná se základnami (pamatujeme, že základny jsou také navzájem rovnoběžné) a rovná se jejich polovičnímu součtu:

m=(a+b)/2.

Tuto definici je třeba se naučit a porozumět jí, protože je klíčem k řešení mnoha problémů!

U lichoběžníku můžete vždy snížit výšku k základně. Nadmořská výška je kolmice, často označovaná symbolem h, která se kreslí z libovolného bodu jedné základny k jiné základně nebo jejímu prodloužení. Středová čára a výška vám pomohou najít oblast lichoběžníku. Takové úkoly jsou nejběžnější ve školním kurzu geometrie a pravidelně se objevují mezi kontrolními a zkušebními písemnostmi.

Nejjednodušší vzorce pro oblast lichoběžníku

lichoběžníková oblast
lichoběžníková oblast

Pojďme analyzovat dva nejoblíbenější a nejjednodušší vzorce, které pomáhají najít oblast lichoběžníku. Stačí vynásobit výšku polovinou součtu základen, abyste snadno našli, co hledáte:

S=h(a + b)/2.

V tomto vzorci označují a, b základny lichoběžníku, h - výšku. Pro snadnější čtení jsou v tomto článku znaménka násobení ve vzorcích označena symbolem (), ačkoli v oficiálních příručkách se znaménko násobení obvykle vynechává.

Uvažujme příklad.

Dáno: Lichoběžník se dvěma základnami 10 cm a 14 cm a výškou 7 cm. Jaká je plocha lichoběžníku?

Pojďme analyzovat řešení tohoto problému. Pomocí tohoto vzorce musíte nejprve najít poloviční součet základů: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Poloviční součet je tedy 12 cm. Nyní poloviční součet vynásobíme výškou: 127 \u003d 84. Požadované je nalezeno. Odpověď: Plocha lichoběžníku je 84 metrů čtverečních. viz

Druhý známý vzorec říká: plocha lichoběžníku se rovná součinu středové čáry a výšky lichoběžníku. To znamená, že to vlastně vyplývá z předchozího konceptu střední čáry: S=mh.

lichoběžníková oblast
lichoběžníková oblast

Použití úhlopříček pro výpočty

Další způsob, jak najít oblast lichoběžníku, ve skutečnosti není tak těžký. Je spojena svými úhlopříčkami. Podle tohoto vzorce, abyste našli plochu, musíte vynásobit poloviční součin jejích úhlopříček (d1 d2) sinusem úhel mezi nimi:

S=½ d1 d2 sin a.

Uvažujme problém, který ukazuje použití této metody. Dáno: lichoběžník o délce úhlopříčky 8 a 13 cm, úhel a mezi úhlopříčkami je 30°. Najděte oblast lichoběžníku.

Rozhodnutí. Pomocí výše uvedeného vzorce je snadné vypočítat, co je potřeba. Jak víte, hřích 30° je 0,5. Proto S=8130,5=52. Odpověď: Rozloha je 52 metrů čtverečních. viz

Hledá se oblast rovnoramenného lichoběžníku

Lichoběžník může být rovnoramenný (rovnoramenný). Jeho strany jsou stejné A úhly na základnách jsou stejné, což je dobře znázorněno na obrázku. Rovnoramenný lichoběžník má stejné vlastnosti jako běžný lichoběžník plus řadu speciálních. Kolem rovnoramenného lichoběžníku lze opsat kruh a do něj lze vepsat kruh.

najít oblast lichoběžníku
najít oblast lichoběžníku

Jaké jsou metody pro výpočet plochy takového obrázku? Níže uvedená metoda bude vyžadovat mnoho výpočtů. Chcete-li jej použít, musíte znát hodnoty sinus (sin) a kosinus (cos) úhlu na základně lichoběžníku. Jejich výpočty vyžadují buď Bradisovy tabulky, nebo inženýrskou kalkulačku. Zde je vzorec:

S=c sin a (a – c cos a), kde c je boční stehno, a je úhel v dolní základně.

Rovnostranný lichoběžník má úhlopříčky stejné délky. Platí to i obráceně: pokud jsou úhlopříčky lichoběžníku stejné, pak je rovnoramenný. Proto následující vzorec, který pomáhá najít plochu lichoběžníku - poloviční součin druhé mocniny úhlopříček a sinus úhlu mezi nimi: S=½ d2hřích a.

Najděte oblast pravoúhlého lichoběžníku

lichoběžníková oblast
lichoběžníková oblast

Existuje zvláštní případ pravoúhlého lichoběžníku. Jedná se o lichoběžník, ve kterém jedna strana (její stehno) přiléhá k základnám v pravém úhlu. Má vlastnosti běžného lichoběžníku. Navíc má velmi zajímavou vlastnost. Rozdíl čtverců úhlopříček takového lichoběžníku se rovná rozdílu čtverců jeho základen. K tomu jsou použity všechny dříve uvedené metody pro výpočet plochy.

Použijte svou vynalézavost

Existuje jeden trik, který může pomoci v případě zapomenutí konkrétních vzorců. Podívejme se blíže na to, co je lichoběžník. Pokud to mentálně rozdělíme na části, získáme známé a srozumitelné geometrické tvary: čtverec nebo obdélník a trojúhelník (jeden nebo dva). Pokud znáte výšku a strany lichoběžníku, můžete použít vzorce pro oblast trojúhelníku a obdélníku a poté sečíst všechny získané hodnoty.

Ukažme si to na následujícím příkladu. Daný obdélníkový lichoběžník. Úhel C=45°, úhly A, D jsou 90°. Horní základna lichoběžníku je 20 cm, výška je 16 cm. Je nutné vypočítat plochu obrázku.

Rozhodnutí

Tento obrazec se samozřejmě skládá z obdélníku (pokud dva úhly mají 90°) a trojúhelníku. Protože je lichoběžník obdélníkový, jeho výška je rovna jeho straně, tedy 16 cm, máme obdélník o stranách 20 a 16 cm. Uvažujme nyní trojúhelník, jehož úhel je 45°. Víme, že jedna z jeho stran má 16 cm, protože tato strana je zároveň výškou lichoběžníku (a víme, že výška dopadá na základnu v pravém úhlu), je tedy druhý úhel trojúhelníku 90°. Zbývající úhel trojúhelníku je tedy 45°. V důsledku toho dostaneme pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, ve kterém jsou dvě strany stejné. To znamená, že druhá strana trojúhelníku je rovna výšce, tedy 16 cm. Zbývá vypočítat plochu trojúhelníku a obdélníku a sečíst výsledné hodnoty.

Plocha pravoúhlého trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho ramen: S=(1616)/2=128. Plocha obdélníku se rovná součinu jeho šířka a délka: S=2016=320. Našli jsme požadovaný: plocha lichoběžníku S=128 + 320=448 čtverečních. viz Můžete se snadno překontrolovat pomocí výše uvedených vzorců, odpověď bude totožná.

Použijte vzorec pro vrchol

lichoběžníková oblast
lichoběžníková oblast

Nakonec je zde další originální vzorec, který pomáhá najít oblast lichoběžníku. Říká se tomu Pick vzorec. Je vhodné jej použít, když je lichoběžník nakreslen na kostkovaný papír. Podobné úkoly se často nacházejí v materiálech GIA. Vypadá to takto:

S=M/2 + N – 1, v tomto vzorci M je počet uzlů, tj. průsečíky čar obrázku s čarami buňky na hranicích lichoběžníku (oranžové tečky na obrázku), N je počet uzlů uvnitř obrázku (modré tečky). Nejpohodlnější je použít při hledání oblasti nepravidelného mnohoúhelníku. Čím větší je však arzenál použitých technik, tím méně chyb a lepší výsledky.

Výše uvedené informace samozřejmě zdaleka nevyčerpávají typy a vlastnosti lichoběžníku, stejně jako způsoby, jak najít jeho oblast. Tento článek poskytuje přehled jeho nejdůležitějších vlastností. Při řešení geometrických problémů je důležité jednat postupně, začít s jednoduchými vzorci a problémy, důsledně upevňovat porozumění, přejít na další úroveň složitosti.

Nejběžnější sestavené vzorce pomohou studentům orientovat se v různých způsobech výpočtu plochy lichoběžníku a lépe se připravit na testy a testy na toto téma.

Doporučuje: